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小孔泄流公式探讨 (2011) 小孔泄流课题组 摘要——传统小孔泄流速度计算公式v=(2gh)1/2 存在异常误差，从总体上讲是错误的。本课题的目的是探讨托里拆利小孔泄流公式产生错误的原因；尝试推导新的小孔泄流公式；通过测试验证新旧小孔泄流公式。 1、创立托里拆利小孔泄流公式论据缺失 1643年托里拆利经过反复测试,得出小孔泄流速度与水面高度平方根成正比的结论。将他的老师卡斯提利的公式v=Ah修改为v=Ah1/2。这个公式是正确的,后来称为托里拆利射流定理。随后托里拆利认定小孔泄流速度与相同水面高度水滴自由下落的速度相等,利用伽利略自由落体运动公式 v2 - v02= 2gh （v末速, v0初速,g重力加速度,h水面高度）得出小孔泄流公式: v =（2gh)1/2 这是一个没有系数的纯理论公式,后来称为托里拆利公式或托里拆利定律。该公式很快被公认，誉称流体动力学的奠基石，广为流传，到现在已经370多年。 可是，托里拆利第二步“推导”缺乏根据。液体小孔泄流与固体自由下落是两种性质不同的运动，断定它们速度相等必须有充分的理论根据，或者是大量可重复实验的归纳。托里拆利第二步“推导”没有进行测试，也没有严密推理，只是一种联想，缺乏充足的理由。准确讲它还不是定律,而是托里拆利猜想。 其实这也是历史的局限性。牛顿定律、微积分、伯努里定律、能量守恒定律都是以后发现的。托里拆利只活到39岁，在他提出小孔泄流公式四年后不幸逝世，他本人不可能利用后来的发现进行推导和验证。就是说，托里拆利定律的原始的唯一依据只有自由落体加速度公式，是固体力学概念。就是现在，单纯依靠自由落体定律也不可能推导出小孔泄流公式。 2、托里拆利小孔泄流公式存在异常误差 托里拆利小孔泄流公式存在巨大的误差。长期以来在实际应用时不得不使用修正系数进行大幅度修正，成为v= c(2gh)1/2 （c修正系数）。（2g)1/2是常数, c(2g)1/2= A。所以实际上是放弃理论公式向射流公式v=Ah1/2的回归。表明托里拆利公式在实际应用中被抛弃。 我们利用薄壁小孔泄流的方法进行反复测试验证,托里拆利小孔泄流公式理论速度比实际测量速度大40%以上（附录1、3）。薄壁泄流的压差阻力为零，与薄壁的摩擦阻力极小。这么大的误差，绝对不是水的粘性影响和技术原因所能够解释的。认为误差是泄流能量损失造成的论点没有根据。 就是说:托里拆利公式未能通过实用和实验的检验。 3、托里拆利小孔泄流公式应当被伯努利定律否定 一般都采用九十五年以后发现的伯努利定律证明托里拆利小孔泄流公式，标准伯努利公式和传统推导方法如下： pa+1/2pva2+pgha=pb+1/2pvb2+pghb 等号左面依次表示水箱上表面的大气压、动压、重力势能；等号右面依次表示小孔处的静压、动压、重力势能。 因为对于小孔泄流 va=0，hb=0，ha=h，标准公式化简为： pa+pgh=pb+1/2pvb2 设小孔处流体静压pb等于环境大气压，即等于水箱表面大气压pa和小孔外面大气压p0（ pb=p0=pa ） 有： pgh =1/2pvb2 推导出托里拆利公式： vb=(2gh)1/2 这种推导方法是错误的，错在设定小孔处静压强 pb等于环境大气压。经测量，小孔处静压不等于环境大气压，它的绝对压强明显大于大气压。相对压强接近水箱底部压强的50%。（附录2） 小孔泄流的动压和静压都随水箱水位高h的变化而变化，都是水箱水位的函数，都是变量。如果设定泄流静压为常数，等于说1米水箱泄流与175米三峡大坝泄洪的静压相等，显然不合理。 公式这种设置模式的pb有双重身份：抵消小孔外大气压p0的角色和匹配动压的静压角色。如果仅仅设定pb等于大气压抵消po，就无意或有意遗漏与动压匹配泄流静压项目，水箱压强ρgH名义上全部转化为泄流动压ρvb2/2。按这个设定推导的托里拆利公式计算出来的泄流速度自然大得出奇。 ρgH =ρvb2/2的物理意义表示静压全部转化为动压，它不符合物理原理。如果水箱静压全部转化为动压，流过小孔的水的静压就等于零。静压等于零的流体根本不存在。 正确的设置和推导方法：前面提到，原伯努利标准公式静压项具有双重身份，使用pb为代号极易造成混乱。最好还原本性，另取代号pB。标准公式为： pa+1/2pva2+pgha= pB+1/2pvb2+pghb pB=p0+pb有： pa+1/2pva2+pgha=p0+pb+1/2pvb2+pghb pa=p0 ，va=0 ，ha=h ,hb=0化简为： pgh= pb+1/2pvb2 该式的物理意义是水箱重力势能转化为小孔泄流的静压与动压的和（注意！不是全部转化为动压）。用伯努利定理术语就是流管各断面的静压加动压等于总压。（由于推导过程大气压已经抵消，计算出来的结果都是相对压力，即所谓的表压。如果用绝对压力表示，需要加一个大气压）。 从上式容易看出，托里拆利公式成立的必要条件是 pb=0（也就是小孔处绝对压强等于大气压）。反之如果 pb≠0，托里拆利公式就不能成立。实际上泄流静压不可能等于零。因为小孔泄流的动压来自静压，静压是根，动压是果，没有根哪有果。因为静压和动压是流动流体不可缺少的组成部分。泄流静压必定存在，托里拆利小孔泄流公式在这里没有立足之地，应当被伯努利定律否定。（附录2） 4、试推导新的小孔泄流公式 小孔泄流的具体情况是：容器内液体的堆积形成底部较大的压强，底部液压推动小孔液体流动。所以应当是计算压力作用使部分液体动量的变化，而不是液体势能全部转化动能。利用冲量原理推导泄流公式就是从这种状态出发的，是一种不假设小孔静压为零的推导方法。 根据牛顿定律： F = ma a=△v/△t F=m△v/△t 整理为冲量定律 F△t=m△v 在这里F=p0s, m=ρw p0s△t=ρw△v p0容器底部压强 S小孔截面面积 ρ液体密度w泄流液体容积 p0=ρgh, w=s△v△t 有： ρghs△t=ρs△v△t△v gh =△v2 v =(gh)1/2 5、小孔泄流静压计算 小孔泄流静压强问题在本文第三节扮演主角。它是理论的关键,是两种截然不同推导方法的分水岭。宝贝似的“小孔处静压等于环境大气压”不过是假设。有了正确的小孔泄流公式，小孔泄流静压强可以简单计算，无须假设，得来全不费工夫。 ⑴、用新小孔泄流公式计算泄流静压 根据化简的小孔泄流公式： Pb+ρvb2/2=ρgh 新公式v2=gh代入： Pb+ρgh/2 =ρgh 得出 Pb=ρgh/2 即小孔泄流的静强等于水箱底部压强的二分之一（相对压强）（附录2），是一种合理的解（不是都等于1个大气压）。1米水箱泄流的静压是175米三峡大坝泄洪静压的1/175，理应如此。 这是小孔泄流的一个重要属性：小孔泄流流体的动压强与静压强相等,并且等于容器小孔入口处流体静压强的一半。它有资格充当小孔泄流的重要定律。这一性质在我们的小孔泄流静压强测试中得到验证。这一性质是托里拆利公式绝对得不到的。 ⑵、利用伯努利定律和小孔泄流静压属性推导小孔泄流公式 简化小孔泄流伯努利公式p+ρv2/2=ρgH是一个二元方程，二元方程有无数组解。可以利用小孔泄流属性作为第二个方程构成方程组： p+ρv2/2=ρgH p -ρv2/2= 0 解方程组得： v = (gH)1/2 就是新小孔泄流公式。 三百年踏破铁鞋无觅处，新公式得来全不费工夫。
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发表于 2016-11-30 11:13
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发表于 2016-11-30 21:12
